Komplexe Zahlen

Klaus von der Heide

Drehungen statt Schwingungen

!!! Bilder etc. fehlen noch !!!

Mathematisch sind Drehbewegungen eleganter zu behandeln als Schwingungen, weil die Frequenz  f  gemessen in Umdrehungen pro Sekunde auch negativ sein  kann.  Die beiden folgenden Animationen zeigen eine Rechts-Spirale (positive Frequenz) sowie eine Linksspirale (negative Frequenz):

Betrachtet man den Realteil (bzw. die Projektion auf die  x-t-Ebene), so ergibt sich das reelle Sinussignal, bei dem positive und negative Frequenz  nicht zu unterscheiden ist:

Die Imaginärteile (bzw. die Projektion auf die  y-t-Ebene) unterscheiden sich:

Bei Drehungen ist es sinnvoll anstelle der Frequenz  f  die Winkelgeschwindigkeit  ω  anzugeben.  Da einer ganzen Drehung ein Winkel von  2π  entspricht, ergibt sich der Zusammenhang

Winkel / Sekunde = (Winkel / Umdrehung) * (Umdrehungen / Sekunde)  also:

ω = 2π f

Die Winkelgeschwindigkeit  ω  wird meist Kreisfrequenz genannt.  Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit  ω  ergibt sich der Winkel  α  als Funktion der Zeit  t  zu

α = ω t + ψ 

Hierin ist  ψ  der Winkel zur Zeit  t = 0 .

Mit der Eulerschen Beziehung 

e^{i α} = cos α + i sin α 

ergibt sich die Drehung zu

e^{i (ω t + ψ)}

Wir schreiben dies meist in der Form

exp ( i (ω t + ψ) )

Ein reelles Sinussignal der Kreisfrequenz  ω  kann man auffassen als die Summe einer Rechtsdrehung und einer Linksdrehung der Kreisfrequenz  ω :

Daraus folgt, dass ein reelles Sinussignal sowohl eine Komponente mit positiver wie auch eine Komponente mit negativer Frequenz hat.